供给侧改革考验执行者的战略定力

МЭ? III зууны Грекийн математикч, геометрын эцэг хэмээн нэрлэгддэг Евклид, Рафаелийн Афины сургууль зургийн нэгэн хэсэг дээр д?рслэгдсэн байгаа нь.

百度 随着公司市场销售形势不断好转，车间产量也随之攀升，焊装分厂MAG焊接（惰性气体保护焊）岗位人员出现紧张，急需增加人手。

Математик (Грек: μ?θημα, Англи: mathematics, Орос: математика) буюу Тоон ухаан нь тоо хэмжээ, б?тэц, огторгуй, ??рчл?лт зэрэг ойлголтууд дээр т?вл?рс?н мэдлэгийн цогц, м?н тэдгээрийн тухай судалдаг шинжлэх ухаан юм. Бенжамин Пиерс математикийг "зайлшг?й д?гнэлт??дийг гаргадаг шинжлэх ухаан" хэмээсэн. Линн Стийн ба Кейт Девлин нар математик нь з?й тогтлын шинжлэх ухаан б?г??д тоонууд, огторгуй, шинжлэх ухаан, компьютер, эсвэл хийсвэр з?йл??дэд з?й тогтлуудыг эрдэг гэж ?зсэн.

Математик нь тоолох, тооцоолох ба хэмжих ?йлдл??д, м?н физик объектуудын хэлбэр д?рс ба х?д?лг??ний системтэй судалгаан дээр хийсвэрлэл, логик сэтгэлгээг хэрэглэсний ?р д?нд ??ссэн. Математикчид эдгээр ойлголтуудын талаар шинэ таамаглал дэвш??лж, тэдгээрийн ?нэн болохыг зохих аксиомууд ба тодорхойлолтуудаас логик д?рм??дийг чанд баримтлан батлах зорилготой судалгаа хийдэг.

Математикийн наад захын хэмжээний мэдлэг ба хэрэглээ нь хувь х?н болон нийгмийн зайлшг?й чухал хэсэг болсоор ирсэн. Энэ ?ндсэн санаануудын сайжруулсан хэлбэр эртний Египет, Вавилони, Энэтхэг, Хятад ба Грекийн ном судруудад хадгалагдан ?лдсэн байдаг. Хамгийн анх Евклид "Эхлэл" б?тээлдээ логикийн хатуу чанд хэрэглээ ямар байх ёстойг харуулсан. ??нээс хойш математикт том дэвшил гарах нь их ц??н байж байгаад XVI зууны Сэргэн Мандлын ?ед математикийн шинэчлэл дараа дараагаараа гарч байсан шинжлэх ухааны нээлт??дтэй харилцан ?йлчилсний д?нд ?н??г х?ртэл ?ргэлжилсэн их хурдацтай судалгааг эхл??лсэн юм.

?н??д?р математик нь байгалийн шинжлэх ухаан, инженерчлэл, анагаах ухаан, эдийн засаг гэх мэт олон салбаруудад дэлхий даяар хэрэглэгдэж байна. Математикийг эдгээр салбарт хэрэглэснийг ихэвчлэн хэрэглээний математик гэдэг ба энэ нь математикийн нээлт??дийг хэрэглэдэг, уг нээлт??дэд х?ргэдэг, заримдаа цоо шинэ шинжлэх ухааныг ч т?р??лдэг математикийн нэг салбар юм. Математикчид м?н цэвэр математикийн, ??р??р хэлбэл юунд хэрэглэхийг нь харгалзахг?йгээр з?вх?н математикийг ??рийг нь судлах судалгаа хийдэг. Сонирхолтой нь цэвэр математикийн ихэнх судалгаанууд эрт орой хэзээ нэгэн цагт амьдрал практикт хэрэглэгддэг байна. Математикийн гоо сайхан чанар нь математикчдын мэргэжилдээ дурлах гол шалтгаан болдог.

Математик хэмээх нэрний учир нь

Манай орон т?дийг?й дэлхийн ихэнх оронд хэрэглэгддэг ?математик? гэдэг ?г нь эртний грек хэлний μ?θημα (máthema, монголоор: сурах, судлах, шинжлэх) ба холбогдох тэмдэг нэр болох μαθηματικ?? (mathēmatikós, монголоор: сурах, судлахтай холбоотой) гэдгээс гаралтай.

Т??х

Дундад эртний ?ед ?мн?д Америкт оршин тогтнож байсан Инкагийн Эзэнт Г?рэнд тоолохдоо олсон зангилаанаас б?тсэн "куипу" гэгдэх энэх?? багажийг хэрэглэдэг байв

Б?х математикийн т??хийг т?вшин нь улам улам ?нд?рс?х хийсвэрлэл??дийн дараалал, эсвэл судлах з?йл??дийнх нь х?рээ яаж ?рг?сс?н тухай т??х гэж ?зэж болно. Хамгийн анхны хийсвэрлэл нь тоо байсан байж мэднэ. Гурван ?хэр ба гурван чулууны хооронд ямар нэг ер?нхий з?йл байгааг ойлгосон явдал х?ний сэтгэх?йд гарсан том ?срэлт??дийн нэг байсан юм. Бодит физик объектуудыг тоолж сураад зогсохг?й эртний х?м??с хийсвэр хэмжигдэх??н??дийг тоолж эхэлсэн. Жишээлбэл цаг хугацааг тоолохын тулд ?д?р, сар, жил хэмээх ойлголтуудыг хэрэглэж ирсэн. ??ний дараа арифметик (нэмэх, хасах, ?ржих, хуваах) х?гжс?н ба эртний балгасын ул м?р??д тэр ?еийн х?м??с геометрийн мэдлэгтэй байсныг гэрчилдэг.

Цаашилбал тоонуудыг б?ртгэж авах ямар нэг арга, жишээлбэл бичих, жижиг чулуунууд ашиглах, эсвэл Инкагийн Эзэнт Г?рэнд хэрэглэдэг байсан шиг куйпу гэгдэх олсон зангилаа хэрэг болж эхэлсэн байна. Энэ явцдаа х?н т?р?лхт?н т?р?л б?рийн тооллын систем??дийг зохиожээ.

Т??хэнд тэмдэглэгдэж ?лдсэнээр математикт хамрагдах гол салбарууд татвар ба худалдаатай холбоотой тооцоо хийх, тоонуудын хоорондох харьцаа хамаарлуудыг ойлгох, газрыг хэмжих, одон орны ?зэгдл??дийг урьдчилан хэлэх шаардлагуудаас ??дэн бий болсон аж. Эдгээр шаардлагуудыг барагцаагаар тоо хэмжээ, б?тэц, огторгуй, ба ??рчл?лтийн судалгаануудад харгалзуулж болж байгааг анзаараарай.

Энэ ?еэс хойш математик асар ихээр ?рг?жс?н б?г??д математик ба шинжлэх ухаанууд хоорондоо нягт холбоотойгоор х?гжс?н. Математикийн нээлт??д т??хийн туршид хийгдэж ирсэн ба одоо ч хийгдсээр байгаа. Америкийн Математикийн Нийгэмлэгийн Мэдээ сэтг??лийн 2006 оны 1-р сарын дугаарт Михайл Б. Севрюкийн бичсэнээр "Математикийн Судалгаа санд 1940 （энэ сангийн ажиллаж эхэлсэн жил）оноос хойш хамрагдсан ном хэвлэл??дийн тоо нь одоо 1.9 саяыг даваад байгаа ба жил б?р 75 мянган ном хэвлэл нэмэгдэж байна. Энэ их далай дахь ажлууд бараг б?гдээрээ математикийн теоремууд ба тэдгээрийн баталгаануудыг агуулдаг".

Гадны н?л??л?л, цэвэр ба хэрэглээний математик, гоо сайхан

Исаак Ньютон (1643-1727), б?х ?еийн хамгийн агуу физикч, интеграл ба дифференциал тооллыг ?ндэслэгчдийн нэг.

Хопфын тор.

Хаана л тоо хэмжээ, б?тэц, огторгуй, эсвэл ??рчл?лт оролцсон хэц?? бодлогууд байна тэнд математик илэрдэг. Ийм бодлогууд эхлээд худалдаа, газар хэмжилт, с??лд одон оронд олддог байсан б?г??д одоо ?ед б?х шинжлэх ухаан, т??нчлэн математик ??р?? т?р?л б?рийн математикийн бодлогуудын эх ??свэр болдог. Тухайлбал Исаак Ньютон интеграл ба дифференциал тооллыг ?ндэслэгчдийн нэг байсан, Фейнманы замын интегралыг физик сэтгэлгээний ?ндсэн дээр Фейнман оруулсан, м?н ?н??гийн утасны онол шинэ математикийг бий болгоход н?л??лж байна. Математикийн зарим онолууд з?вх?н т??нийг бий болгоход н?л??лс?н талбарт л ашиглагддаг бол ихэнх онолууд бусад олон талбарт м?н ашиглагддаг. "Хамгийн цэвэр" математикт ч хэзээ нэгэн цагт ашиглагдах газар олддог явдлыг Евген Вигнер математикийн ер бусын хэмнэлттэй байдал гэж нэрлэсэн.

Математикийг дотор нь барагцаагаар цэвэр математик ба хэрэглээний математик гэж хоёр том хэсэгт хуваадаг. Хэрэглээний математикийн олон салбар математикийн гаднах харгалзах шинжлэх ухаануудтай нийлж статистик, ?йлдлийн судалгаа, компьютер судлал гэх мэт биеэ даасан шинэ шинжлэх ухаанууд болж х?гжс?н.

Математикт энгийн байдал ба ер?нхий байдал чухал. М?н Евклидийн энгийн тооны тоог хязгаарг?й гэж баталсан баталгаа шиг ур ухаан шаардсан баталгаа, Фурьегийн хурдан хувиргалт шиг тооцооллыг хурдасгах аргуудад гоо сайхан чанар бий. Ихэнх математикчид ??рийн ажлаас болон математикаас гоо сайхны таашаал авдаг. Зарим математикчид математикийг урлагийн т?р?л, ядаж л б?тээлч ?йл ажиллагаа гэж ?здэг б?г??д математикийг х?гжим ба яруу найрагтай жишдэг.

Бертранд Рассел математикийн гоо сайхныг ингэж илэрхийлжээ:

Математикийг з?в??р харвал энэ нь з?вх?н ?нэнийг агуулаад зогсохг?й дээд гоо сайхан - баримал мэт х?йтэн б?г??д хатуу чанд, бидний сул байдлын аль ч талтай холбоог?й, зураг эсвэл х?гжим шиг элдэв гоёл чимэглэл байхг?й боловч гайхамшигтай цэвэр б?г??д з?вх?н хамгийн сайн урлагтай з?йрлэж болохоор гуйвшг?й т?гс т?г?лд?р байдалтай холбоотой тийм гоо сайхныг агуулдаг. Хамгийн дээд давамгайллын жишиг болсон жинхэнэ баяр бахдал, сэтгэлийн х??р?л, мах цуснаас б?тсэн х?нээс ил?? болохоо мэдрэх мэдрэмжийг математикаас яруу найрагтай адилаар олж болно.

Поль Эрдос ингэж хэлсэн байна: "Тоонууд яагаад сайхан гэж? Энэ нь яагаад Бетховений 9-р симфони сайхан бэ гэж асуусантай адил. Хэрэв чи яагаад гэдгийг нь харахг?й байгаа бол хэн ч чамд ойлгуулж чадахг?й. Би тоонууд сайхан гэдгийг мэдэж байна. Хэрэв тоо сайхан биш бол юу ч тийм биш."

Математикийн салбарууд

Хятад сампин. Эхний ?еийн математик нь б?хлээрээ практик тооцоо хийхтэй холбоотой байсан.

Дээр дурдсанаар математикийн гол салбарууд татвар ба худалдаатай холбоотой тооцоо хийх, тоонуудын хоорондох харьцаа хамаарлуудыг ойлгох, газрыг хэмжих, одон орны ?зэгдл??дийг урьдчилан хэлэх шаардлагуудаас ??дэн бий болсон. Эдгээр шаардлагуудыг барагцаагаар тоо хэмжээ, б?тэц, огторгуй, ба ??рчл?лтийн судалгаануудад (?.х. арифметик, алгебр, геометр, ба анализ) харгалзуулж болно. Эдгээр гол хэсг??дээс гадна математикийн ц?м??с бусад салбарууд руу холбогдсон холбоог судлах зорилготой дэд хэсг??д бий: логик, олонлогийн онолтой холбоотой тулгуур салбарууд, т?р?л б?рийн шинжлэх ухааны туршлагын математиктай холбоотой хэрэглээний математик гэх мэт.

Тоо хэмжээ

Тоо хэмжээний судлал нь бидний мэдэх натурал тоонууд, б?хэл тоонууд ба тэдгээр дээр хийгдэх арифметик ?йлдл??дээр эхлэх б?г??д энэ нь арифметикийг т?р??лнэ. Б?хэл тоонуудын ил?? г?нзгий шинж чанаруудыг тооны онол судлах ба Фермагийн с??лчийн теорем гэх мэт ?р д?нг??дийг гаргадаг. Тооны онолын алдартай бодогдоог?й бодлогуудад хос энгийн тооны болон Гольдбахын таамаглалууд орно.

Тоон системийн цаашдын х?гжил б?хэл тоонуудыг рациональ тоонууд буюу "бутархай" тоонуудын дэд олонлог болгоход х?ргэсэн. Рациональ тоонууд нь м?н ??рийн ээлжинд тасралтг?й тоо хэмжээг илэрхийлдэг бодит тоонуудад агуулагдана. Бодит тоонууд нь комплекс тоонууд руу ?рг?тг?гдд?г. Энэ шаталсан дараалал цаашаа кватернион ба октонион х?ртэл явна. Н?г?? талаас натурал тоонуудын судлал т?гсг?лг?й х?ртэл тоолохыг формальжуулдаг трансфинит тоонуудад х?ргэдэг. Хэмжээний судлал кардинал тоонуудыг оруулдаг б?г??д энэ нь т?гсг?лг?й том хэмжээтэй олонлогуудыг хооронд нь харьцуулах боломж олгодог альеф тоонуудад х?ргэнэ.

$1,2,3\,\!$	$-2,-1,0,1,2\,\!$	$-2,{\frac {2}{3}},1.21\,\!$	${\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\!$	$-e,{\sqrt {2}},3,\pi \,\!$	$2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\,\!$
Натурал тоонууд	Б?хэл тоонууд	Рациональ тоонууд	Иррациональ тоонууд	Бодит тоонууд	Комплекс тоонууд

Б?тэц

Олонлог, функц гэх мэт олон математик объектууд ??рийн дотоод б?тэцтэй байдаг. Ийм объектуудын б?тцийн шинж чанаруудыг б?лэг, цагираг, ба талбар болон бусад абстракт систем??дийн тусламжтай судалдаг. Эдгээр нь ??рсд?? м?н математик объектууд болох б?г??д эдгээрийн судалгаа абстракт алгебрыг б?рд??лнэ. Нэг чухал ойлголт бол векторууд ба эдгээрийг вектор огторгуй болгож ?рг?тг?н шугаман алгебрт судална. Векторуудын судалгаа нь тоо хэмжээ, б?тэц, огторгуй гэсэн математикийн гурван ?ндсэн судлагдахууныг нэг дор авч ?здэг. Цаашилбал вектор тоололд д?р?вдэх ?ндсэн судлагдахуун болох ??рчл?лтийг м?н авч ?здэг байна.

Тооны онол	Абстракт алгебр	Б?лгийн онол	Эрэмбийн онол

Огторгуй

Огторгуйн судалгаа нь геометрээс, тухайлбал Евклидийн геометрээс эхлэлтэй. Тригонометр нь огторгуй, тоо хоёрыг хооронд нь холбодог ба бидний сайн мэдэх Пифагорын теорем дээр ?ндсэндээ тулгуурладаг. Огторгуйн тухай орчин ?еийн онолууд эдгээр санаануудыг ?рг?тг?н олон хэмжээст геометр, Евклидийн биш геометрууд (энэ геометрууд харьцангуйн ер?нхий онолд гол ??рэг г?йцэтгэдэг) ба топологийг судалдаг. Аналитик геометр, дифференциал геометр, болон алгебрлаг геометрт тоо хэмжээ ба огторгуй хоёул чухал ??рэг г?йцэтгэдэг. Дифференциал геометр нь ширхэг багц ба цогцос дээрх тооллыг агуулна. Алгебрлаг геометр нь геометрын объектуудыг олон гиш??нт тэгшитгэл??дийн шийдийн олонлогоор д?рсэлснээр тоо хэмжээ ба огторгуйг хооронд нь холбоод зогсохг?й топологи б?лгийн тухай судалж б?тэц ба огторгуйг хооронд нь холбодог байна. Ли б?лг??дийг огторгуй, б?тэц, ??рчл?лтийг зэрэг судлахад ашигладаг. Топологи нь б?х д?рс хувирлуудынхаа хамт магадг?й XX зуунд хамгийн их х?гжс?н математикийн салбар юм. Энд жишээлбэл удаан хугацаанд шийдэгдээг?й байсан Пуанкарьегийн таамаглал ба компьютерээр баталсан боловч х?н хэзээ ч баталгааг нь шалгааг?й д?рв?н ?нгийн теорем зэрэг хамрагдана.

Геометр	Тригонометр	Дифференциал геометр	Топологи	Фрактал геометр

??рчл?лт

??рчл?лт хувьслыг ойлгож тайлбарлах асуудал нь байгалийн шинжлэх ухааны нийтлэг асуудал б?г??д интеграл ба дифференциал тоолол нь яг ??нийг судлахын тулд бий болгосон х?чтэй хэрэгсэл юм. ??рчл?гд?ж байгаа хэмжигдэх??нийг илэрхийлэх тулгуур ойлголт болгон функцийг энд оруулж ирдэг. Бодит тоонууд ба бодит утга авдаг функц??дийн судалгааг бодит анализ гэдэг б?г??д комплекс тоотой холбоотой ийм салбарыг нь комплекс анализ гэж нэрлэдэг. Математикийн хамгийн тулгуур шийдэгдээг?й асуудлуудын нэг болох Риманы таамаглал комплекс анализаас урган гарсан. Функционал анализ нь функц??дийн (ер?нхийд?? т?гсг?лг?й хэмжээстэй) огторгуй дээр т?вл?рд?г б?г??д ??ний нэг хэрэглээ нь квант механик юм. Нийтлэг илэрдэг тоо хэмжээ болон т??ний ??рчл?лтийн хоорондох холбоог дифференциал тэгшитгэл болгож судалдаг. Байгалийн олон ?зэгдэл динамик системээр илэрхийлэгддэг. Эдгээр систем??д ямар ?ед детерминистик боловч урьдчилж таахын аргаг?й шинж байдал ?з??лэх вэ гэдгийг хаосын онолд судална.

Интеграл ба дифференциал тоолол	Вектор тоолол	Дифференциал тэгшитгэл	Динамик систем	Хаосын онол

Тулгуур салбарууд ба философи

Б?х математикийн дээр нь тогтож байгаа ?ндэс суурийг тодорхой болгохын тулд математик логик ба олонлогийн онол, м?н одоогоор б?рэн т?г?лд?рж??г?й байгаа категорийн онолыг ??сгэжээ.

Математик логик нь математикийг хатуу аксиомчилсан системийн х?рээнд авч ?зэх ба ??нээс гарах ?р дагавруудыг судалдаг. Энд жишээлбэл логикийн хамгийн алдартай ?р д?н байж мэдэх Гёделийн г?йцэд бусын хоёрдугаар теорем хамаарагдана. Энэ теорем нь (барагцаагаар хэлбэл) ?ндсэн арифметикийг багтаасан дурын формаль систем хэрэв уг системд баталж болох б?х теорем ?нэн бол уг систем дотор батлах боломжг?й, ?нэн теоремууд оршин байна гэдэг. Гёдель тооны онолын дурын аксиомууд ?г?гдс?н байхад уг аксиомуудаас гарахг?й, тооны онолын ?нэн баримтыг илэрхийлэх логик ?г??лбэрийг яаж байгуулахыг зааж ?гс?н. Иймд ямар ч формаль систем тооны онолын жинхэнэ аксиомчлал болж чадахг?й юм. Орчин ?еийн логик нь рекурсын онол, моделийн онол, ба баталгааны онол гэж хуваагддаг б?г??д онолын компьютер судлалтай нягт холбоотой оршдог.

$P\Rightarrow Q\,$
Математик логик	Олонлогийн онол	Категорийн онол

Дискрет математик

Дискрет математик нь ер?нхийд?? онолын компьютер судлалд хэрэглэгддэг математикийн салбаруудыг нэрлэсэн нэр юм. ??нд тооцоологдох байдлын онол, тооцооллын нийлмэл байдлын онол, ба мэдээллийн онол багтана. Тооцоологдох байдлын онол нь одоогоор мэдэгдэж байгаа хамгийн х?чирхэг загвар болох Тюрингийн загварыг оролцуулан компьютерийн т?р?л б?рийн онолын загваруудын боломжийн хязгаарыг судалдаг. Нийлмэл байдлын онол нь компьютер ашиглан бодлогуудыг бодох ?ед зарцуулах ?ртгийг судална. Зарим бодлогыг зарчмын хув

компьютерээр бодож болох боловч практик дээр компьютер хичнээн ч х?гжл?? гэсэн б?тээх аргаг?й их санах ой болон цаг хугацаа шаардахаар байж болдог. ?г?гдс?н орчинд хэр их хэмжээний мэдээлэл хадгалж болох вэ гэдгийг мэдээллийн онол судлах ба ?г?гдлийг шахах, энтропи гэх мэт ойлголтуудыг оруулж ирдэг.

Харьцангуй шинэ салбар тул дискрет математикт шийдэгдээг?й тулгуур асуудлууд нилээд бий. Эдгээрээс хамгийн алдартай нь Мянганы Шагналт Бодлогуудын нэг болох "P=NP?" бодлого юм.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Комбинаторик	Тооцооллын онол	Криптограф	Графын онол

Хэрэглээний математик

Шинжлэх ухаан, бизнес болон бусад салбарт математикийн абстракт аппаратыг ашиглах явдлыг хэрэглээний математикт авч ?здэг. Хэрэглээний математикийн нэг чухал салбар нь статистик б?г??д энд магадлалын онолыг ашиглан тохиолдох эсэх нь тодорхойг?й ?зэгдл??дийг тайлбарлах, шинжлэх, урьдчилсан таамаг гаргах талаар судална. Ихэнх туршилт, хайгуул, болон ажиглалтууд статистикийн ядаж анхан шатны мэдлэг шаарддаг. Ер?нхийд?? х?ний тооцон бодох чадвараас хэт давсан т?р?л б?рийн математикийн бодлогуудыг хэмнэлттэйгээр тооцоолох аргуудыг тоон анализ судалдаг. Энд тухайлбал тоймлолын алдаа болон бусад алдааны эх ??свэр??дийг шинжлэх явдал орно.

Математик физик ? Аналитик механик ? Математик шингэний динамик ? Тоон анализ ? Оптимизаци ? Магадлал ? Статистик ? Математик эдийн засаг ? Санх??гийн математик ? Тоглоомын онол ? Математик биологи ? Криптограф ? ?йлдлийн шинжилгээ

М?н ?зэх

• Математиктай холбоотой нийтлэл??дийн жагсаалт
• Математикийн философи
• Боловсрол
• Математикийн бодлого
• Математикийн уралдаан тэмцээн??д
• Математикчдын жагсаалт
• Монголын Математикчдын Холбоо

Ном хэвлэл

• Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Sixth Edition, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
• Jourdain, Philip E. B., The Nature of Mathematics, in The World of Mathematics, James R. Newman, editor, Dover, 2003, ISBN 0-486-43268-8.
• Peirce, Benjamin. "Linear Associative Algebra". American Journal of Mathematics (Vol. 4, No. 1/4. (1881). {{cite journal}}: Unknown parameter |, pages= ignored (help) JSTOR.
• Peterson, Ivars, Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics, Owl Books, 2001, ISBN 0-8050-7159-8.
• Sevryuk, Mikhail B. (2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (1): 101–109. {{cite journal}}: Unknown parameter |month= ignored (help)